一种常用的处理随时间变化数据的统计方法

时间序列分析 音乐=？时间序列分析是处理数据随时间变化的常用统计方法，它通过寻找数据过去的规律来预测其未来的发展趋势。时间序列分析广泛应用于天气预报、销售预测等自然科学和社会科学的各个领域。音乐是反映人们现实生活情感的艺术，是人类的精神食粮。时间序列和音乐，两个听起来不相关的东西能碰撞出什么样的火花？让我们在下面的故事中找到真相。有故事哦？故事的主角是王大锤，他有一个相恋多年的女朋友苏小美。他们的爱始于校园，从相识到相爱，他们一起度过了四年的大学生活。转眼间，又是一年的毕业季，大学生活即将结束，人生将进入新的旅程。在这个特殊的时刻，王大锤也希望为自己的爱情开启一个新的阶段。他决定向小梅求婚，成为一个守护她一生的男人。但是怎样求婚才能给小美一个惊喜呢？王大锤遇难了...这时，作为王大锤的好同性恋朋友，慕容白想出了一个好主意:“小美平时那么喜欢唱歌。如果你给她写一首独特的求婚歌，她会被感动的！这个想法让王大锤眼前一亮。然而，理想是美好的，现实是骨感的。对于王大锤这样的音乐小白来说，作曲的高级操作简直是难上青天啊！所谓的帮助，为了帮助王大锤学生实现作曲的目标，慕容白抛出了最终的举动：“直接创作真的很困难，但可以基于现有的旋律，使用时间序列的音乐改编，所以也可以得到你的独家旋律哦~”困难的音乐探索道路可以通过时间序列分析来降低音乐改编的难度，但仍需要了解基本的音乐理论知识。于是慕容白为好友王大锤开了一个小音乐课。音乐主要由曲调、节奏、力度等组成。有两种常见的乐谱，一种是简谱，一种是五线谱。简谱主要展示音乐的主旋律，而五线谱可以展示所有的音乐元素。下图显示了我们熟悉的doremifasollaxido在五线谱和钢琴上的对应位置。五线谱是世界上常见的记谱法，主要由音符、谱号和谱表组成。五线谱的内容非常复杂，可以记录音域的高度、音阶的升降、演奏的强度以及多音演奏形成的和弦。对五线谱感兴趣的童鞋可以阅读下图，了解每个符号的具体含义。看完五线谱，王大锤的心崩溃了...这么复杂的内容很难一时掌握。别担心，在使用时间序列作曲时，我们可以简化五线谱的内容，只提取音乐中的主题，反映音调和节奏，和弦、力量、踏板等。然后要做的就是把主旋律变成数字，让时间序列模型能够“理解”音乐。具体来说，我们根据钢琴键盘上的相应位置，将主旋律中的每个音符编码成1到103的数字。熟悉钢琴的朋友可能会想，钢琴不是只有88个键吗？为什么多了几个？这是因为白健和黑键之间有一半的声音，但相邻的两个白健之间有一个声音。为了保证声音的跨度和数字的间隔相等，还专门编号了没有黑键的部分。另外，我们用数字的重复来反映音乐的节奏。例如，旋律节奏的最小单位是半拍，对于一个两拍的音符，重复四次。这样，我们就实现了乐谱的结构化，离成功不远了。让我们进入真正的音乐制作环节。首先要确定曲目才能选择音乐。由于乐谱结构化时只提取主旋律，慕容白建议大锤可以选择主旋律鲜明、旋律少、伴奏少的歌曲。一般来说，纯音乐更合适。王大锤仍然了解小美，所以他选择了小美最喜欢的钢琴曲《悲伤还是快乐》。《悲伤还是幸福》的原名《MySoul》，来自韩国作曲家July。这首歌带着淡淡的悲伤慢慢来，然后节奏逐渐变得欢快，就像生活一样，从悲到喜，从苦到甜。虽然生活中难免会遇到悲伤和困难，但大锤希望能给小美带来欢乐和幸福。所以这首歌是和心！制作音乐的王大锤将音乐中反复出现的旋律作为训练集，并将其结构化。从结构化后的时序图可以看出，这段旋律具有明显的周期性特征，属于不稳定序列，这一结果也得到了对该序列稳定性的测试的支持。ARIMA模型和指数平滑法常用于非平稳序列的分析。ARIMA模型是一种常用的非稳定序列分析方法，其实质是先差分时序数据，使数据变成稳定序列，然后建立ARMA模型。在确定性时序分析中，选择holt-winters三参数指数平滑法，可以削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑，从而显示变化规律。由于原始序列属于不稳定序列，ARIMA模型对不稳定序列进行差分处理，即计算T时间到T-1时间的差值。对于差异后的序列，可以用单位根检查来判断其稳定性，用Ljung-Box检查来判断其纯随机性。从下面显示的结果可以看出，差分后的序列是稳定的、非白噪声的序列，因此可以进行后续建模。为了确定模型并选择阶数，ACF(自相关系数)和PACF(偏相关系数)计算了差分后的序列。如下图所示，两者都有明显的拖尾特征。当序列显示这一特征时，它表明不再适合简单地使用AR模型或MA模型，因此考虑使用ARMA模型。通过EACF(延伸自相关系数)进一步计算数据，王大锤最终选择使用ARMA(1、1)模型对差分后的序列建模，即为原序列建立ARIMA(1、1、1)模型。下图显示了模型估计的结果，可以看出AR部分和MA部分的系数是显著的。另外，建模结束后还需要检查模型的有效性，即看模型的残差是否为白噪。检验结果表明，没有证据表明残差是非白噪声序列，这表明建立的ARIMA(1、1、1)模型已经能够完全提取序列之间的相关性，因此该模型是可以接受的。然后进入最关键的环节，生成新的音乐。王大锤摩拳擦掌，能不能给小美一个惊喜就看它了！根据建立的模型，王大锤预测了音乐的未来趋势，并通过这种方法自动生成了新的旋律。但结果出来后，王大锤目瞪口呆，新生成的旋律波动不明显。后来的音乐一直保持在同一水平，也就是说，他一直在播放同一个音符，这听起来不太好。只能尝试其他方法。由于序列具有明显的周期性特征，王大锤选择了holt-winters三参数指数平滑模型。平滑法是时间序列分析中常用的数据修复技术。它可以削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑，从而显示变化规律。holt-winters三参数指数平滑模型认为序列受到水平因素的影响(at)、趋势因素(bt)和季节因素(st)因此，可以处理包含时间趋势项和周期性变化规律的时序数据，并给出不同因素之间的相互作用。模型的具体形式和部分估计结果如下图所示：同样，王大锤进行了预测和安排，发现新生成的旋律类似于原始音乐的变化趋势，保留了以前的周期性。播放这首新生成的音乐，惊喜地发现，哦，好吧，哦，当你立即决定求婚时，就用它吧！！改编后的音乐来自狗熊会  00:0000:41 Happyending微风不燥，阳光恰到好处，就像大锤和小美第一次约会一样。此时此刻，王大锤拨动了手中的琴弦，悠扬的琴声触动了小美的心弦。王大锤终于说出了一直埋藏在心里的话，那句“你愿不愿意”充满了深情和期待。小美也被大锤的心感动了，轻轻地说了那句“我愿意”……故事结局完美。

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